Question

2．空間四邊形的各邊相等，順次連接各邊中點(diǎn)所得的四邊形是正方形．

Answer 1

分析 作出空間四邊形ABCD如圖，設(shè)四邊形EFGH是順次連接各邊中點(diǎn)而得的四邊形，利用三角形中位線定理可證出四邊形EFGH是平行四邊形．再由線面垂直的判定與性質(zhì)，可證出EF、EH互相垂直，從而得到四邊形EFGH是正方形．

解答 解：如圖設(shè)空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA，E、F、G、H分別是各邊的中點(diǎn)，
四邊形EFGH是順次連接E、F、G、H而得的四邊形．
取BD中點(diǎn)M，連接AM、CM、AC、BD．
∵EH是△ABD的中位線，
∴EH∥BD，且EH=$\frac{1}{2}$BD．
同理可得：FG∥BD，且FG=$\frac{1}{2}$BD，
∴EH∥FG且EH=FG，可得四邊形EFGH是平行四邊形．
同理可得：EH=HG，
∴平行四邊形EFGH是菱形．
∵△ABD中，AB=AD，M為BD中點(diǎn)，
∴AM⊥BD
同理可得CM⊥BD，
結(jié)合AM、CM是平面ACM內(nèi)的相交直線，可得BD⊥平面ACM．
∵AC?平面ACM，
∴BD⊥AC．
∵EF∥AC且EH∥BD，
∴EF⊥EH，
由此可得：四邊形EFGH是正方形．
故答案是：正方形．

點(diǎn)評 本題給出四邊相等的空間四邊形，求順次連接各邊中點(diǎn)所得四邊形的形狀．著重考查了空間垂直、平行位置關(guān)系的證明和三角形中位線定理等知識，屬于基礎(chǔ)題．