Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{cosx}$+$\frac{a}{sinx}$，若對(duì)任意x∈（0，$\frac{π}{2}$），不等式f（x）≥8恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[3$\sqrt{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 利用參數(shù)分離法，進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．

解答 解：若對(duì)任意x∈（0，$\frac{π}{2}$），不等式f（x）≥8恒成立，
即對(duì)任意x∈（0，$\frac{π}{2}$），不等式$\frac{1}{cosx}$+$\frac{a}{sinx}$≥8恒成立，
即a≥8sinx-tanx，
設(shè)h（x）=8sinx-tanx，
則h′（x）=8cosx-$\frac{1}{co{s}^{2}x}$=$\frac{8co{s}^{3}x-1}{co{s}^{2}x}$，
由h′（x）＞0得8cos³x＞1，即cosx＞$\frac{1}{2}$，即0＜x＜$\frac{π}{3}$，時(shí)，函數(shù)h（x）為增函數(shù)，
由h′（x）＜0得8cos³x＜1，即cosx＜$\frac{1}{2}$，即$\frac{π}{3}$＜x＜$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)h（x）為減函數(shù)，
即當(dāng)cosx=$\frac{1}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$時(shí)，函數(shù)h（x）取得極大值同時(shí)也是最大值h（$\frac{π}{3}$）=8sin$\frac{π}{3}$-tan$\frac{π}{3}$=4$\sqrt{3}-\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
故a≥3$\sqrt{3}$，
故答案為：[3$\sqrt{3}$，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立的應(yīng)用，利用參數(shù)分離法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用構(gòu)造法和導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．