Question

2．如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形．過AB的平面與側棱CC₁，DD₁分別交于點E，F(xiàn)．
（Ⅰ）求證：EF∥AB；
（Ⅱ）求證：A₁C₁⊥平面DBB₁D₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由底面ABCD為菱形，可得AB∥CD，易證AB∥平面D₁DCC₁，結合AB?平面ABEF，平面ABEF∩平面D₁DCC₁=EF，可得EF∥AB．
（Ⅱ）由AA₁⊥平面ABCD，可得BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，可證BB₁⊥A₁C₁，又底面A₁B₁C₁D₁為菱形，可得B₁D₁⊥A₁C₁，可得A₁C₁⊥平面DBB₁D₁，

解答 （本小題12分）
解：（Ⅰ）∵底面ABCD為菱形，
∴AB∥CD，------------------（2分）
又AB?平面D₁DCC₁，CD?平面D₁DCC₁，-----------------（3分）
∴AB∥平面D₁DCC₁，-----------------（4分）
又∵AB?平面ABEF，平面ABEF∩平面D₁DCC₁=EF，-----（5分）
∴EF∥AB．------------------（6分）
（Ⅱ）∵AA₁⊥平面ABCD，
∴BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，-----------------（7分）
∵A₁C₁?平面A₁B₁C₁D₁，
∴BB₁⊥A₁C₁，-----------------（8分）
又∵底面A₁B₁C₁D₁為菱形，
∴B₁D₁⊥A₁C₁，-----------------（10分）
∵B₁D₁∩BB₁=B₁，BB₁?平面DBB₁D₁，B₁D₁?平面DBB₁D₁，------------------（11分）
∴A₁C₁⊥平面DBB₁D₁，----------------（12分）

點評 本題主要考查了線面平行的性質(zhì)，線面垂直的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，考查了學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．