Question

18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知三圓C₁：x²+y²=4，C₂：（x+$\sqrt{3}$）²+（y-1）²=4，C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+2cosθ}\\{y=1+2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）有一公共點(diǎn)P（0，2）．
（Ⅰ）分別求C₁與C₂，C₁與C₃異于點(diǎn)P的公共點(diǎn)M、N的直角坐標(biāo)；
（Ⅱ）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求經(jīng)過三點(diǎn)O、M、N的圓C的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析 （1）求出圓C₃的普通方程，解方程組得出交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求出過三點(diǎn)的圓的普通方程，轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程．

解答 解：（I）圓C₃的直角坐標(biāo)方程為（x-$\sqrt{3}$）²+（y-1）²=4．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\\{（x+\sqrt{3}）^{2}+（y-1）^{2}=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}}\\{y=-1}\end{array}\right.$．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\\{（x-\sqrt{3}）^{2}+（y-1）^{2}=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=-1}\end{array}\right.$．
∴M（-$\sqrt{3}$，-1），N（$\sqrt{3}$，-1）．
（II）M，N的中垂線方程為x=0，故過點(diǎn)M，N，O三點(diǎn)的圓圓心在y軸上，設(shè)圓的半徑為r，
則（r-1）²+$（\sqrt{3}）^{2}$=r²，解得r=2．∴圓心坐標(biāo)為（0，-2）．
∴經(jīng)過三點(diǎn)O、M、N的圓C的直角坐標(biāo)方程為x²+（y+2）²=4．即x²+y²+4y=0．
∴經(jīng)過三點(diǎn)O、M、N的圓C的極坐標(biāo)方程為ρ²+4ρsinθ=0，即ρ=-4sinθ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，考查學(xué)生的空間想象和運(yùn)算求解能力．