Question

20．設(shè)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且$\overrightarrow{AP}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$，△ABP的面積為20，則△PBC的面積為40．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{AP}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$便可得到$\frac{2}{5}（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）=\frac{1}{5}\overrightarrow{CP}$，可取AB中點(diǎn)D，并連接PD，從而可得到$\overrightarrow{CP}=4\overrightarrow{PD}$，這說明C，P，D三點(diǎn)共線，且有$PD=\frac{1}{5}CD$，從而得出S_△ABC=100，S_△BCD=50，而${S}_{△PBC}=\frac{4}{5}{S}_{△BCD}$，從而便可求出△PBC的面積．

解答 解：$\overrightarrow{AP}=\frac{2}{5}（\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA}）+\frac{1}{5}（\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PA}）$；
∴$\frac{2}{5}（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）=\frac{1}{5}\overrightarrow{CP}$；
如圖，取AB中點(diǎn)D，連接PD，則$\overrightarrow{CP}=4\overrightarrow{PD}$；
∴C，P，D三點(diǎn)共線，且$PD=\frac{1}{5}CD$；
∴S_△ABC=5S_△ABP=100；
∴${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}=50$，${S}_{△PBC}=\frac{4}{5}{S}_{△BCD}=40$．
故答案為：40．

點(diǎn)評 考查向量減法及數(shù)乘的幾何意義，以及向量的數(shù)乘運(yùn)算，向量加法的平行四邊形法則，三角形的面積公式．