Question

19．已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)，過(guò)F₂與雙曲線的一條漸近線平行的直線與另一條漸近線平行的直線與另一條漸近線交于點(diǎn)M，且cos∠F₁MF₂=0，則雙曲線的離心率為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)題意可表示出過(guò)焦點(diǎn)的直線與雙曲線方程聯(lián)立求得交點(diǎn)M的坐標(biāo)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出$\overrightarrow{M{F}_{1}}$，$\overrightarrow{M{F}_{2}}$，進(jìn)而根據(jù)cos∠F₁MF₂=0，即$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而求得a和c的關(guān)系，離心率可得．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，F(xiàn)₂（c，0），
依題意$\left\{\begin{array}{l}{^{2}{x}^{2}-{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}^{2}}\\{y=\frac{a}（x-c）}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2c}$，y=-$\frac{^{3}}{2ac}$，
即有M（$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2c}$，-$\frac{^{3}}{2ac}$），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
∴$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=（$\frac{-{a}^{2}-3{c}^{2}}{2c}$，$\frac{^{3}}{2ac}$），$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（$\frac{^{2}}{2c}$，$\frac{^{3}}{2ac}$），
∵cos∠F₁MF₂=0，即有$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，
即$\frac{-{a}^{2}-3{c}^{2}}{2c}$•$\frac{^{2}}{2c}$+$\frac{^{3}}{2ac}$•$\frac{^{3}}{2ac}$=0，
∴c⁴=5a²c²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．圓錐曲線是高考的重點(diǎn)每年必考，希望能夠引起考生的重視．