Question

3．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₂=3，S₅=25．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）若數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n．且b=$\frac{1}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$，求T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差中項(xiàng)可知S₅=5a₃=25，進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}的公差d=2，計(jì)算即得結(jié)論；
（II）通過(guò)（I）裂項(xiàng)可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：（I）依題意，S₅=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=5a₃=25，
∴a₃=5，
又∵a₂=3，
∴數(shù)列{a_n}的公差d=a₃-a₂=5-3=2，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=a₂+（n-2）d=3+2（n-2）=2n-1；
（II）由（I）可知b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
所以T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查裂項(xiàng)相消法，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．