Question

18．設函數(shù)f（x）=lnx，且x₀、x₁、x₂∈（0，+∞），下列命題：
①若x₁＜x₂，則$\frac{1}{{x}_{2}}$＞$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$
②存在x₀∈（x₁，x₂），（x₁＜x₂），使得$\frac{1}{{x}_{0}}=\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$
③若x₁＞1，x₂＞1，則$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜1
④對任意的x₁、x₂，都有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）$＞\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$
其中正確的是②③④（把你認為正確結論的序號都填上）．

Answer 1

分析 由f（x）=lnx得f'（x）=$\frac{1}{x}$（x＞0），f'（x₁）=$\frac{1}{{x}_{1}}$表示在x₁處的切線斜率，
$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$表示x₁與x₂兩點連線的斜率，由此判斷題目中的命題是否正確即可．

解答 解：由f（x）=lnx，得f'（x）=$\frac{1}{x}$（x＞0）；
f'（x₁）=$\frac{1}{{x}_{1}}$表示在x₁處的切線斜率，$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$表示x₁與x₂兩點的斜率；
①若x₁＜x₂，由圖象考查直線的斜率不滿足$\frac{1}{{x}_{2}}$＞$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$，∴①不正確；
②存在x₀∈（x₁，x₂），（x₁＜x₂），圖中藍色的切線就是直線在x₀處的切線，
能夠使得$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$，∴②正確；
③若x₁＞1，x₂＞1，$\frac{1}{{x}_{i}}$＜1，i=1、2，所以$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$＜1，∴③正確；
④對任意的x₁，x₂，$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$表示x₁與x₂兩點的斜率，且f（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）＞$\frac{f{（x}_{1}）+f{（x}_{2}）}{2}$，
∴④正確；
綜上，正確的命題序號是②③④．
故答案為：②③④．

點評 本題主要考查了導數(shù)的幾何意義和函數(shù)的圖象與性質的應用問題，是中檔題．