Question

7．已知a＞0且a≠1，設(shè)p：函數(shù)y=log_a（x+1）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減；q：曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于不同的兩點，如果“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 由“函數(shù)y=log_a（x+1）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減”，可知p：0＜a＜1．由“曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于不同的兩點”，可得△＞0．因為“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，所以p與q恰好一真一假，即可得出．

解答 解：由“函數(shù)y=log_a（x+1）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減”，
可知p：0＜a＜1，
由“曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于不同的兩點”，∴△=（2a-3）²-4＞0，a＞0，a≠1．
可知$q：a＞\frac{5}{2}$或$0＜a＜\frac{1}{2}$，
因為“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，
所以p與q恰好一真一假，
當p真，q假時，$a∈（{0，1}）∩[{\frac{1}{2}，\frac{5}{2}}]$，即$a∈[{\frac{1}{2}，1}）$．
當p假，q真時，$a∈（{1，+∞}）∩（{（{0，\frac{1}{2}}）∪（{\frac{5}{2}，+∞}）}）$，即$a∈（{\frac{5}{2}，+∞}）$．
綜上可知，a的取值范圍為：$[{\frac{1}{2}，1}）∪（{\frac{5}{2}，+∞}）$．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．