Question

19．二手車經(jīng)銷商小王對(duì)其所經(jīng)營(yíng)的A型號(hào)二手汽車的使用年數(shù)x與銷售價(jià)格y（單位：萬(wàn)元/輛）進(jìn)行整理，得到如下數(shù)據(jù)：

使用年數(shù)x	2	3	4	5	6	7
售價(jià)y	20	12	8	6.4	4.4	3
z=lny	3.00	2.48	2.08	1.86	1.48	1.10

下面是z關(guān)于x的折線圖：

（1）由折線圖可以看出，可以用線性回歸模型擬合z與x的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)數(shù)加以說(shuō)明；
（2）求y關(guān)于x的回歸方程并預(yù)測(cè)某輛A型號(hào)二手車當(dāng)使用年數(shù)為9年時(shí)售價(jià)約為多少？（$\widehat$、$\widehat{a}$小數(shù)點(diǎn)后保留兩位有效數(shù)字）．
（3）基于成本的考慮，該型號(hào)二手車的售價(jià)不得低于7118元，請(qǐng)根據(jù)（2）求出的回歸方程預(yù)測(cè)在收購(gòu)該型號(hào)二手車時(shí)車輛的使用年數(shù)不得超過(guò)多少年？
參考公式：回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：
$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$，r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}}$．
參考數(shù)據(jù)：
$\sum_{i=1}^{6}{x}_{i}{y}_{i}$=187.4，$\sum_{i=1}^{6}{x}_{i}{z}_{i}$=47.64，$\sum_{i=1}^{6}{{x}_{i}}^{2}$=139，$\sqrt{\sum_{i=1}^{6}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=4.18，$\sqrt{\sum_{i=1}^{6}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$=13.96，
$\sqrt{\sum_{i=1}^{6}（{z}_{i}-\overline{z}）^{2}}$=1.53，ln1.46≈0.38，ln0.7118≈-0.34．

Answer 1

分析 （1）由題意計(jì)算$\overline{x}$、$\overline{z}$，求出相關(guān)系數(shù)r，判斷z與x的線性相關(guān)程度；
（2）利用最小二乘估計(jì)公式計(jì)算$\widehat$、$\widehat{a}$，寫出z與x的線性回歸方程，
求出y關(guān)于x的回歸方程，計(jì)算x=9時(shí)$\stackrel{∧}{y}$的值即可；
（3）利用線性回歸方程求出$\stackrel{∧}{y}$≥0.7118時(shí)x的取值范圍，即可得出預(yù)測(cè)結(jié)果．

解答 解：（1）由題意，計(jì)算$\overline{x}$=$\frac{1}{6}$×（2+3+4+5+6+7）=4.5，
$\overline{z}$=$\frac{1}{6}$×（3+2.48+2.08+1.86+1.48+1.10）=2，
且$\sum_{i=1}^{6}$x_iz_i=47.64，$\sqrt{{\sum_{i=1}^{6}{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}}$=4.18，
$\sqrt{{\sum_{i=1}^{6}{（z}_{i}-\overline{z}）}^{2}}$=1.53，
∴r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}}$
=$\frac{47.64-6×4.5×2}{4.18×1.53}$
=-$\frac{6.36}{6.3954}$（或-$\frac{6.36}{6.40}$）
≈-0.99；
∴z與x的相關(guān)系數(shù)大約為0.99，說(shuō)明z與x的線性相關(guān)程度很高；
（2）利用最小二乘估計(jì)公式計(jì)算
$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{47.64-6×4.5×2}{139-6{×4.5}^{2}}$=-$\frac{6.36}{17.5}$≈-0.36，
∴$\widehat{a}$=$\overline{z}$-$\widehat$$\overline{x}$=2+0.36×4.5=3.62，
∴z與x的線性回歸方程是$\stackrel{∧}{z}$=-0.36x+3.62，
又z=lny，
∴y關(guān)于x的回歸方程是$\stackrel{∧}{y}$=e^-0.36x+3.62；
令x=9，解得$\stackrel{∧}{y}$=e^{-0.36×9+3.62}≈1.46，
即預(yù)測(cè)某輛A型號(hào)二手車當(dāng)使用年數(shù)為9年時(shí)售價(jià)約1.46萬(wàn)元；
（3）當(dāng)$\stackrel{∧}{y}$≥0.7118時(shí)，e^-0.36x+3.62≥0.7118=e^ln0.7118=e^-0.34，
∴-0.36x+3.62≥-0.34，
解得x≤11，
因此預(yù)測(cè)在收購(gòu)該型號(hào)二手車時(shí)車輛的使用年數(shù)不得超過(guò)11年．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性回歸方程與線性相關(guān)系數(shù)的求法與應(yīng)用問(wèn)題，計(jì)算量大，計(jì)算時(shí)要細(xì)心．