Question

計(jì)劃在某水庫建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站．過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：億立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年．將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立．

(1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率；

(2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系：

年入流量X	40<X<80	80≤X≤120	X>120
發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)	1	2	3

若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)年利潤(rùn)為5 000萬元；若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)年虧損800萬元．欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)．

Answer 1

解　(1)依題意，p₁＝P(40<X<80)＝＝0.2，

p₂＝P(80≤X≤120)＝＝0.7，

p₃＝P(X>120)＝＝0.1.

由二項(xiàng)分布，在未來4年中至多有1年的年入流量超過120的概率為】

(2)記水電站年總利潤(rùn)為Y(單位：萬元)．

①安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形．

由于水庫年入流量總大于40，故1臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1，對(duì)應(yīng)的年利潤(rùn)Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000.

②安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形．

依題意，當(dāng)40<X<80時(shí)，1臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y＝5 000－800＝4 200，因此P(Y＝4 200)＝P(40<X<80)＝p₁＝0.2；

當(dāng)X≥80時(shí)，2臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y＝5 000×2＝10 000，因此P(Y＝10 000)＝P(X≥80)＝p₂＋p₃＝0.8；由此得Y的分布列如下：

Y	4 200	10 000
P	0.2	0.8