Question

三棱錐A ­ BCD及其側(cè)視圖、俯視圖如圖1­4所示．設(shè)M，N分別為線段AD，AB的中點(diǎn)，P為線段BC上的點(diǎn)，且MN⊥NP.

(1)證明：P是線段BC的中點(diǎn)；

(2)求二面角A ­ NP ­ M的余弦值．

　

圖1­4

Answer 1

解：(1)如圖所示，取BD的中點(diǎn)O，連接AO，CO.

由側(cè)視圖及俯視圖知，△ABD，△BCD為正三角形，

所以AO⊥BD，OC⊥BD.

因?yàn)?i>AO，OC⊂平面AOC，且AO∩OC＝O，

所以BD⊥平面AOC.

又因?yàn)?i>AC⊂平面AOC，所以BD⊥AC.

取BO的中點(diǎn)H，連接NH，PH.

又M，N，H分別為線段AD，AB，BO的中點(diǎn)，所以MN∥BD，NH∥AO，

因?yàn)?i>AO⊥BD，所以NH⊥BD.

因?yàn)?i>MN⊥NP，所以NP⊥BD.

因?yàn)?i>NH，NP⊂平面NHP，且NH∩NP＝N，所以BD⊥平面NHP.

又因?yàn)?i>HP⊂平面NHP，所以BD⊥HP.

又OC⊥BD，HP⊂平面BCD，OC⊂平面BCD，所以HP∥OC.

因?yàn)?i>H為BO的中點(diǎn)，所以P為BC的中點(diǎn)．

(2)方法一：如圖所示，作NQ⊥AC于Q，連接MQ.

由(1)知，NP∥AC，所以NQ⊥NP.

因?yàn)?i>MN⊥NP，所以∠MNQ為二面角A ­ NP ­ M的一個(gè)平面角．

由(1)知，△ABD，△BCD為邊長為2的正三角形，所以AO＝OC＝.

由俯視圖可知，AO⊥平面BCD.

因?yàn)?i>OC⊂平面BCD，所以AO⊥OC，因此在等腰直角△AOC中，AC＝.

作BR⊥AC于R

因?yàn)樵凇?i>ABC中，AB＝BC，所以R為AC的中點(diǎn)，

所以BR＝＝.

因?yàn)樵谄矫?i>ABC內(nèi)，NQ⊥AC，BR⊥AC，

所以NQ∥BR.

又因?yàn)?i>N為AB的中點(diǎn)，所以Q為AR的中點(diǎn)，

所以NQ＝＝.

同理，可得MQ＝.

故△MNQ為等腰三角形，

所以在等腰△MNQ中，

cos∠MNQ＝＝＝.

故二面角A ­ NP ­ M的余弦值是.

方法二：由俯視圖及(1)可知，AO⊥平面BCD.

因?yàn)?i>OC，OB⊂平面BCD，所以AO⊥OC，AO⊥OB.

又OC⊥OB，所以直線OA，OB，OC兩兩垂直．

如圖所示，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以OB，OC，OA的方向?yàn)?i>x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O ­xyz.

則A(0，0，)，B(1，0，0)，C(0，，0)，D(－1，0，0)．

因?yàn)?i>M，N分別為線段AD，AB的中點(diǎn)，

又由(1)知，P為線段BC的中點(diǎn)，

所以M，N，P，于是AB＝(1，0，－)，BC＝(－1，，0)，MN＝(1，0，0)，NP＝.

設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量n₁＝(x₁，y₁，z₁)，

由得即

從而

取z₁＝1，則x₁＝，y₁＝1，所以n₁＝(，1，1)．

設(shè)平面MNP的一個(gè)法向量n₂＝(x₂，y₂，z₂)，由，

得

即

從而

取z₂＝1，則y₂＝1，x₂＝0，所以n₂＝(0，1，1)．

設(shè)二面角A ­ NP ­ M的大小為θ，則cos θ＝＝＝.

故二面角A­NP­M的余弦值是.