三棱錐A BCD及其側視圖、俯視圖如圖14所示.設M,N分別為線段AD,AB的中點,P為線段BC上的點,且MN⊥NP.
(1)證明:P是線段BC的中點;
(2)求二面角A NP M的余弦值.
圖14
解:(1)如圖所示,取BD的中點O,連接AO,CO.
由側視圖及俯視圖知,△ABD,△BCD為正三角形,
所以AO⊥BD,OC⊥BD.
因為AO,OC⊂平面AOC,且AO∩OC=O,
所以BD⊥平面AOC.
又因為AC⊂平面AOC,所以BD⊥AC.
取BO的中點H,連接NH,PH.
又M,N,H分別為線段AD,AB,BO的中點,所以MN∥BD,NH∥AO,
因為AO⊥BD,所以NH⊥BD.
因為MN⊥NP,所以NP⊥BD.
因為NH,NP⊂平面NHP,且NH∩NP=N,所以BD⊥平面NHP.
又因為HP⊂平面NHP,所以BD⊥HP.
又OC⊥BD,HP⊂平面BCD,OC⊂平面BCD,所以HP∥OC.
因為H為BO的中點,所以P為BC的中點.
(2)方法一:如圖所示,作NQ⊥AC于Q,連接MQ.
由(1)知,NP∥AC,所以NQ⊥NP.
因為MN⊥NP,所以∠MNQ為二面角A NP M的一個平面角.
由(1)知,△ABD,△BCD為邊長為2的正三角形,所以AO=OC=.
由俯視圖可知,AO⊥平面BCD.
因為OC⊂平面BCD,所以AO⊥OC,因此在等腰直角△AOC中,AC=.
作BR⊥AC于R
因為在△ABC中,AB=BC,所以R為AC的中點,
所以BR==.
因為在平面ABC內,NQ⊥AC,BR⊥AC,
所以NQ∥BR.
又因為N為AB的中點,所以Q為AR的中點,
所以NQ==.
同理,可得MQ=.
故△MNQ為等腰三角形,
所以在等腰△MNQ中,
cos∠MNQ===.
故二面角A NP M的余弦值是.
方法二:由俯視圖及(1)可知,AO⊥平面BCD.
因為OC,OB⊂平面BCD,所以AO⊥OC,AO⊥OB.
又OC⊥OB,所以直線OA,OB,OC兩兩垂直.
如圖所示,以O為坐標原點,以OB,OC,OA的方向為x軸,y軸,z軸的正方向,建立空間直角坐標系O xyz.
則A(0,0,),B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,0).
因為M,N分別為線段AD,AB的中點,
又由(1)知,P為線段BC的中點,
所以M,N,P,于是AB=(1,0,-),BC=(-1,,0),MN=(1,0,0),NP=.
設平面ABC的一個法向量n1=(x1,y1,z1),
由得即
從而
取z1=1,則x1=,y1=1,所以n1=(,1,1).
設平面MNP的一個法向量n2=(x2,y2,z2),由,
得
即
從而
取z2=1,則y2=1,x2=0,所以n2=(0,1,1).
設二面角A NP M的大小為θ,則cos θ===.
故二面角ANPM的余弦值是.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站.過去50年的水文資料顯示,水庫年入流量X(年入流量:一年內上游來水與庫區(qū)降水之和,單位:億立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超過120的年份有35年,超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率,并假設各年的年入流量相互獨立.
(1)求未來4年中,至多有1年的年入流量超過120的概率;
(2)水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行,但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量X限制,并有如下關系:
年入流量X | 40<X<80 | 80≤X≤120 | X>120 |
發(fā)電機最多可運行臺數(shù) | 1 | 2 | 3 |
若某臺發(fā)電機運行,則該臺年利潤為5 000萬元;若某臺發(fā)電機未運行,則該臺年虧損800萬元.欲使水電站年總利潤的均值達到最大,應安裝發(fā)電機多少臺.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
直三棱柱ABCA1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分別是A1B1,A1C1的中點,BC=CA=CC1,則BM與AN所成角的余弦值為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
在平面四邊形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.將△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如圖15所示.
(1)求證:AB⊥CD;
(2)若M為AD中點,求直線AD與平面MBC所成角的正弦值.
圖15
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
三棱錐P ABC中,D,E分別為PB,PC的中點,記三棱錐D ABE的體積為V1,P ABC的體積為V2,則=________.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
如圖13所示,四棱錐PABCD中,底面是以O為中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=,M為BC上一點,且BM=,MP⊥AP.
(1)求PO的長;
(2)求二面角APMC的正弦值.
圖13
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
如圖14所示,在長方體ABCD A1B1C1D1中,AB=11,AD=7,AA1=12.一質點從頂點A射向點E(4,3,12),遇長方體的面反射(反射服從光的反射原理),將第i-1次到第i次反射點之間的線段記為Li(i=2,3,4),L1=AE,將線段L1,L2,L3,L4豎直放置在同一水平線上,則大致的圖形是( )
圖14
A B
C D
圖15
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
在15個村莊中有7個村莊交通不方便,現(xiàn)從中任意選10個村莊,而X表示這10個村莊中交通不方便的村莊數(shù),下列概率中等于的是( )
A.P(X=2) B.P(X≤2)
C.P(X=4) D.P(X≤4)
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