三棱錐A ­ BCD及其側視圖、俯視圖如圖1­4所示.設M,N分別為線段AD,AB的中點,P為線段BC上的點,且MNNP.

(1)證明:P是線段BC的中點;

(2)求二面角A ­ NP ­ M的余弦值.

 

圖1­4


解:(1)如圖所示,取BD的中點O,連接AO,CO.

由側視圖及俯視圖知,△ABD,△BCD為正三角形,

所以AOBDOCBD.

因為AO,OC⊂平面AOC,且AOOCO

所以BD⊥平面AOC.

又因為AC⊂平面AOC,所以BDAC.

BO的中點H,連接NH,PH.

M,N,H分別為線段AD,AB,BO的中點,所以MNBD,NHAO,

因為AOBD,所以NHBD.

因為MNNP,所以NPBD.

因為NH,NP⊂平面NHP,且NHNPN,所以BD⊥平面NHP.

又因為HP⊂平面NHP,所以BDHP.

OCBDHP⊂平面BCD,OC⊂平面BCD,所以HPOC.

因為HBO的中點,所以PBC的中點.

(2)方法一:如圖所示,作NQACQ,連接MQ.

由(1)知,NPAC,所以NQNP.

因為MNNP,所以∠MNQ為二面角A ­ NP ­ M的一個平面角.

由(1)知,△ABD,△BCD為邊長為2的正三角形,所以AOOC.

由俯視圖可知,AO⊥平面BCD.

因為OC⊂平面BCD,所以AOOC,因此在等腰直角△AOC中,AC.

BRACR

因為在△ABC中,ABBC,所以RAC的中點,

所以BR.

因為在平面ABC內,NQAC,BRAC,

所以NQBR.

又因為NAB的中點,所以QAR的中點,

所以NQ.

同理,可得MQ.

故△MNQ為等腰三角形,

所以在等腰△MNQ中,

cos∠MNQ.

故二面角A ­ NP ­ M的余弦值是.

方法二:由俯視圖及(1)可知,AO⊥平面BCD.

因為OC,OB⊂平面BCD,所以AOOC,AOOB.

OCOB,所以直線OA,OB,OC兩兩垂直.

如圖所示,以O為坐標原點,以OB,OC,OA的方向為x軸,y軸,z軸的正方向,建立空間直角坐標系O ­xyz.

A(0,0,),B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,0).

因為M,N分別為線段ADAB的中點,

又由(1)知,P為線段BC的中點,

所以MN,P,于是AB=(1,0,-),BC=(-1,,0),MN=(1,0,0),NP.

設平面ABC的一個法向量n1=(x1,y1,z1),

從而

z1=1,則x1,y1=1,所以n1=(,1,1).

設平面MNP的一個法向量n2=(x2,y2,z2),由,

從而

z2=1,則y2=1,x2=0,所以n2=(0,1,1).

設二面角A ­ NP ­ M的大小為θ,則cos θ.

故二面角A­NP­M的余弦值是.


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A.                                    B.

C.                                    D.

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年入流量X

40<X<80

80≤X≤120

X>120

發(fā)電機最多可運行臺數(shù)

1

2

3

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圖1­5

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圖1­4

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