Question

9．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，現(xiàn)已畫出函數(shù)f（x）在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示，請根據(jù)圖象：
（1）畫出函數(shù)f（x）在y軸右邊的圖象并寫出函數(shù)f（x）（x∈R）的解析式．
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-2ax+2，（x∈[1，2]）（a∈R為常數(shù)），求函數(shù)g（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，畫出函數(shù)圖象，由圖象求解函數(shù)的解析式即可；
（Ⅱ）配方，再分類討論：當a＜0，0≤a≤1，a＞1時，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最小值．

解答 解：（1）由x＜0時，可得x=-2，x=0是二次函數(shù)圖象與x軸的交點，可得f（x）=x²+2x，滿足題意．
當x＞0時，-x＜0，
∴f（-x）=x²-2x
又函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
∴f（x）=x²-2x-------------3’
故函數(shù)的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+2x，x＜0\\{x}^{2}-2x，x≥0\end{array}\right.$
函數(shù)圖象如下圖所示：--------------7’

（2）x∈[1，2]時，函數(shù)g（x）=f（x）-2ax+2=x²-2x-2ax+2=x²-（2+2a）x+2=[x-（1+a）]²+3+2a+a²，
當1+a＜1，即a＜0時，函數(shù)在[1，2]上單調(diào)增，所以最小值g（a）=g（1）=-2a；
當1≤1+a≤2，即0≤a≤1時，函數(shù)在（1，1+a）上單調(diào)減，（1+a，2）上單調(diào)增，所以最小值g（1+a）=3+2a+a²；
當1+a＞2，即a＞1時，函數(shù)在[1，2]上單調(diào)減，所以最小值g（a）=g（2）=2-4a；
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}-2a，a＜0\\ 3+2a+{a}^{2}，0≤a≤1\\ 2-4a，a＞1\end{array}\right.$．

點評 本題考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查函數(shù)的解析式的求法：待定系數(shù)法，考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，解題的關(guān)鍵是掌握對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，合理分類，屬于中檔題．