Question

14．函數(shù)f（x）=log_a$\frac{1-x}{1+x}$（0＜a＜1）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域D，并判斷f（x）的奇偶性；
（2）如果當(dāng)x∈（t，a）時，f（x）的值域?yàn)椋?∞，1），求a與t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)真數(shù)大于0，可得函數(shù)的定義域，根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得f（-x）=-f（x）得：f（x）為奇函數(shù)；
（2）由f（x）的值域?yàn)椋?∞，1）求出相應(yīng)的自變量的取值范圍，可得a與t的值．

解答 解：（1）由$\frac{1-x}{1+x}$＞0得：x∈（-1，1），
故函數(shù)f（x）的定義域D=（-1，1）；
由函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，
且f（-x）=log_a$\frac{1+x}{1-x}$=-log_a$\frac{1-x}{1+x}$=-f（x）得：f（x）為奇函數(shù)；
（2）∵0＜a＜1，
故f（x）的值域?yàn)椋?∞，1）時，$\frac{1-x}{1+x}$＞a，
即$\frac{（a+1）x+（a-1）}{x+1}＜0$，
解得：x∈（-1，$\frac{1-a}{a+1}$），
∴t=-1，a=$\frac{1-a}{a+1}$，
解得：a=$\frac{-1+\sqrt{2}}{2}$，或a=$\frac{-1-\sqrt{2}}{2}$（舍去），
綜上：a=$\frac{-1+\sqrt{2}}{2}$，t=-1

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．