Question

19．設f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x∈（0，1）時，f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$，
（1）求f（x）在（-1，1）的解析式；
（2）若f（x）=m．x∈（-1，1）有解，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，能得到f（x）=-f（-x）=-$\frac{{2}^{-x}}{{4}^{-x}+1}$=-$\frac{2^x}{4^x+1}$，從而求出函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性，分類討論得出函數(shù)的值域：（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{2}{5}$）∪（$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{2}$）∪{0}，進而求得參數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）因為f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（0）=0，
當x∈（-1，0）時，-x∈（0，1），
所以，f（x）=-f（-x）=-$\frac{{2}^{-x}}{{4}^{-x}+1}$=-$\frac{2^x}{4^x+1}$，
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2^x}{4^x+1}，x∈（0，1）}\\{0，x=0}\\{-\frac{2^x}{4^x+1}，x∈（-1，0）}\end{array}\right.$；
（2）當x∈（0，1）時，2^x∈（1，2），
f（x）=$\frac{2^x}{4^x+1}$=$\frac{1}{2^x+{2}^{-x}}$，
其中2^x+2^-x∈（2，$\frac{5}{2}$），所以f（x）∈（$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{2}$），
所以，當x∈（-1，0）時，f（x）∈（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{2}{5}$），
因此，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上的值域為：（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{2}{5}$）∪（$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{2}$）∪{0}．
所以，要使方程f（x）=m在（-1，1）上有解，
則m的取值范圍為：（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{2}{5}$）∪（$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{2}$）∪{0}．

點評 本題主要查了函數(shù)解析式的求法和方程有解問題的解法，涉及奇函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值域的確定，屬于中檔題．