Question

20．已知圓C的方程為：x²+y²-2mx-2y+4m-4=0，（m∈R）．
（1）試求m的值，使圓C的面積最小，并寫(xiě)出此時(shí)圓C的方程；
（2）求與（1）中所求的圓C相切，且過(guò)點(diǎn)（1，-2）的直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)配方先將圓的一般方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，利用二次函數(shù)的最值，可得m的值，并寫(xiě)出此時(shí)圓C的方程；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論確定圓的方程，然后設(shè)出直線方程，利用直線與圓相切的條件，建立關(guān)系，求得直線方程．

解答 解：配方得圓的方程：（x-m）²+（y-1）²=（m-2）²+1
（1）當(dāng)m=2時(shí)，圓的半徑有最小值1，此時(shí)圓的面積最��；圓的方程為（x-2）²+（y-1）²=1．
（2）當(dāng)m=2時(shí)，圓的方程為（x-2）²+（y-1）²=1
設(shè)所求的直線方程為y+2=k（x-1），即kx-y-k-2=0
由直線與圓相切，得$\frac{|2k-1-k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，∴k=$\frac{4}{3}$．
所以切線方程為y+2=$\frac{4}{3}$（x-1），即4x-3y-10=0
又過(guò)點(diǎn)（1，-2）且與x軸垂直的直線x=1與圓也相切
∴所求的切線方程為x=1與4x-3y-10=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的方程以及直線與圓的位置關(guān)系，同時(shí)考查了二次函數(shù)的最值問(wèn)題，在求直線方程時(shí)注意考慮斜率不存在的情況，是個(gè)中檔題．