Question

5．若函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}，}&{x＜a}\\{|x+1|，}&{x≥a}\end{array}}$在區(qū)間（-∞，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是[-1，0]．

Answer 1

分析 反比例函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，要使x＜a在區(qū)間（-∞，a）上單調(diào)遞減，那么：a≤0．在（a，+∞）上單調(diào)遞增，則函數(shù)y=|x+1|的單調(diào)增區(qū)間必須在（a，+∞）內(nèi)，則a+1≥0，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}，}&{x＜a}\\{|x+1|，}&{x≥a}\end{array}}$，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減，要使函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，a）上單調(diào)遞減，則：a≤0．
那么：函數(shù)f（x）=|x+1|在（a，+∞）上單調(diào)遞增，那么：a+1≥0，解得：a≥-1．
故得實數(shù)a的取值范圍是[-1，0]．
故答案為：[-1，0]．

點評 本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性問題，要利用基本函數(shù)入手，抓住基本函數(shù)的單調(diào)性從而求解．屬于中檔題．