Question

16．設(shè)f（x）=log_ag（x）（a＞0且a≠1）
（Ⅰ）若$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（2x-1）$，且滿足f（x）＞1，求x的取值范圍；
（Ⅱ）若g（x）=ax²-x，是否存在a使得f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，3]上是增函數(shù)？如果存在，說明a可以取哪些值；如果不存在，請說明理由．
（Ⅲ）定義在[p，q]上的一個函數(shù)m（x），用分法T：
p=x₀＜x₁＜…＜x_i-1＜x_i＜…＜x_n=q
將區(qū)間[p，q]任意劃分成n個小區(qū)間，如果存在一個常數(shù)M＞0，使得不等式|m（x₁）-m（x₀）|+|m（x₂）-m（x₁）|+…+|m（x_i）-m（x_i-1）|+…+|m（x_n）-m（x_n-1）|≤M恒成立，則稱函數(shù)m（x）為在[p，q]上的有界變差函數(shù)．試判斷函數(shù)f（x）=${log_{\sqrt{66}}}（4{x^2}-x）$是否為在[$\frac{1}{2}$，3]上的有界變差函數(shù)？若是，求M的最小值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若f（x）＞1，則$lo{g}_{\frac{1}{2}}（2x-1）＞lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}即\left\{\begin{array}{l}2x-1＜\frac{1}{2}\\ 2x-1＞0\end{array}\right.$，解得答案；
（Ⅱ）分類討論使f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，3]上是增函數(shù)的a值，綜合討論結(jié)果可得答案；
（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)f（x）=${log_{\sqrt{66}}}（4{x^2}-x）$為[$\frac{1}{2}$，3]上的有界變差函數(shù)，結(jié)合（Ⅱ）中結(jié)論，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（2x-1）＞1?{log_{\frac{1}{2}}}（2x-1）＞{log_{\frac{1}{2}}}\frac{1}{2}?\left\{\begin{array}{l}2x-1＜\frac{1}{2}\\ 2x-1＞0\end{array}\right.$…（3分）
解得$\frac{1}{2}＜x＜\frac{3}{4}$…（4分）
（Ⅱ）當(dāng)a＞1時，$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2a}≤\frac{1}{2}\\ g（\frac{1}{2}）=\frac{1}{4}a-\frac{1}{2}＞0\end{array}\right.⇒a＞2$…（6分）
當(dāng)0＜a＜1時，$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2a}≥3\\ g（3）=9a-3＞0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a≤\frac{1}{6}\\ a＞\frac{1}{3}\end{array}\right.$，無解…（7分）
綜上所述a＞2…（8分）
（Ⅲ）函數(shù)f（x）=${log_{\sqrt{66}}}（4{x^2}-x）$為[$\frac{1}{2}$，3]上的有界變差函數(shù)．…（9分）
由（2）知當(dāng)$a=\sqrt{66}$時，函數(shù)f（x）為[$\frac{1}{2}$，3]上的單調(diào)遞增函數(shù)，
且對任意劃分T：$\frac{1}{2}={x_0}＜{x_1}＜…＜{x_{i-1}}＜{x_i}＜…＜{x_n}=3$，
有$f（\frac{1}{2}）=f（{x_0}）＜f（{x_1}）＜…＜f（{x_{n-1}}）＜f（{x_n}）=f（3）$，
所以f（x₁）-f（x₀）+f（x₂）-f（x₁）+…+f（x_n）-f（x_n-1）=$f（{x_n}）-f（{x_0}）=f（3）-f（\frac{1}{2}）={log_{\sqrt{66}}}33-{log_{\sqrt{66}}}\frac{1}{2}=2$，…（11分）
所以存在常數(shù)M≥2，使得$\sum_{i=1}^n{|{f（{x_i}）-f（{x_{i-1}}）}|}≤M$恒成立，
所以M的最小值為2．…（12分）

點評 本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．