Question

2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=1+2t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）將直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l和曲線C相交于A、B兩點，求AB的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去參數(shù)t，把直線l的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，
利用極坐標(biāo)公式，把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求出圓心C到直線l的距離d，利用勾股定理求出直線被圓截得的弦長．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=1+2t}\end{array}\right.$，消去參數(shù)t，
得直線l的直角坐標(biāo)方程為：2x-y+1=0；…（2分）
由ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
得ρ=2$\sqrt{2}$（sinθcos$\frac{π}{4}$+cosθsin$\frac{π}{4}$）=2sinθ+2cosθ，
∴ρ²=2ρsinθ+2ρcosθ，
化為普通方程得，
曲線C的直角坐標(biāo)方程為：x²+y²=2y+2x，
即（x-1）²+（y-1）²=2；…（4分）
（Ⅱ）圓心C（1，1）到直線l的距離為
d=$\frac{|2×1-1+1|}{\sqrt{{2}^{2}{+1}^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
且圓的半徑為R=$\sqrt{2}$，
直線被圓C截得的弦長
|AB|=2$\sqrt{{R}^{2}{-d}^{2}}$=2$\sqrt{{（\sqrt{2}）}^{2}{-（\frac{2}{\sqrt{5}}）}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{30}}{5}$．…（7分）

點評 本題考查了參數(shù)方程與極坐標(biāo)的應(yīng)用問題，也考查了直線與圓的方程的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．