Question

16．設f（x）=x（e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$），則不等式f（x+1）＞f（2x-1）的解集為（　�。�

• A． （-∞，2）
• B． （0，2）
• C． （2，+∞）
• D． （-∞，0）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 分析出函數(shù)f（x）=x（e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$）的單調性和奇偶性，然后借助于f（x）=f（|x|），把不等式f（x+1）＞f（2x-1）轉化為f（|x+1|）＞f（|2x-1|），再利用單調性得到關于x的二次不等式求得不等式f（x+1）＞f（2x-1）的解集．

解答 解：由f（x）=x（e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$），得
當x＞0時，y₁=x＞0為增函數(shù)，${y}_{2}={e}^{x}-\frac{1}{{e}^{x}}＞0$為增函數(shù)，
∴當x＞0時，f（x）=x（e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$）為增函數(shù)．
又f（-x）=-x（${e}^{-x}-\frac{1}{{e}^{-x}}$）=-x（$\frac{1}{{e}^{x}}-{e}^{x}$）=x（${e}^{x}-\frac{1}{{e}^{x}}$）=f（x），
∴f（x）=x（e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$）為偶函數(shù)．
則f（x+1）＞f（2x-1）?f（|x+1|）＞f（|2x-1|）?|x+1|＞|2x-1|，
?（x+1）²＞（2x-1）²，解得：0＜x＜2．
∴不等式f（x+1）＞f（2x-1）的解集為（0，2）．
故選：B．

點評 本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和單調性的綜合應用，同時考查了轉化的思想，屬于中檔題．