Question

2．如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD和△ACD折
成互相垂直的兩個(gè)平面后，某學(xué)生得出下列四個(gè)結(jié)論
①BD⊥AC；              
②△BAC是等邊三角形；
③三棱錐D-ABC是正三棱錐；
④平面ADC⊥平面ABC
其中正確的是（　　）

• A． ①②④
• B． ①②③
• C． ②③④
• D． ①③④

Answer 1

分析 設(shè)等腰直角三角形△ABC的腰為a，則斜邊BC=$\sqrt{2}$a，
①利用面面垂直的性質(zhì)定理易證BD⊥平面ADC，又AC?平面ADC，從而可知BD⊥AC，可判斷①；
②依題意及設(shè)法可知，AB=AC=a，BD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，利用勾股定理可求得BC=$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=a，從而可判斷②；
③又因?yàn)镈A=DB=DC，根據(jù)正三棱錐的定義判斷；
④作出平面ADC與平面ABC的二面角的平面角，利用BD⊥平面ADC可知，∠BDF為直角，∠BFD不是直角，從而可判斷④．

解答 解：解：設(shè)等腰直角三角形△ABC的腰為a，則斜邊BC=$\sqrt{2}$a，
①∵D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，
又平面ABD⊥平面ACD，平面ABD∩平面ACD=AD，BD⊥AD，BD?平面ABD，
∴BD⊥平面ADC，又AC?平面ADC，
∴BD⊥AC，故①正確；
②由A知，BD⊥平面ADC，CD?平面ADC，
∴BD⊥CD，又BD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴由勾股定理得：BC=$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=a，又AB=AC=a，
∴△ABC是等邊三角形，故②正確；
③∵△ABC是等邊三角形，DA=DB=DC，
∴三棱錐D-ABC是正三棱錐，故③正確．
④∵△ADC為等腰直角三角形，取斜邊AC的中點(diǎn)F，則DF⊥AC，又△ABC為等邊三角形，連接BF，則BF⊥AC，

∴∠BFD為平面ADC與平面ABC的二面角的平面角，
由BD⊥平面ADC可知，∠BDF為直角，∠BFD不是直角，故平面ADC與平面ABC不垂直，故④錯(cuò)誤；
綜上所述，正確的結(jié)論是①②③．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查線面垂直的判定與應(yīng)用，考查二面角的作圖與運(yùn)算，屬于中檔題．