Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=3sin（ωx+$\frac{π}{6}$）（ω＞0）的周期是π，則（　�。�

• A． f（x）的圖象過點(diǎn)（0，$\frac{1}{2}$）
• B． f（x）在[$\frac{π}{12}$，$\frac{2π}{3}$]上是減函數(shù)
• C． f（x）的一個(gè)對稱中心是（$\frac{5π}{12}$，0）
• D． 將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位得到函數(shù)y=3sinωx的圖象

Answer 1

分析 根據(jù)周期函數(shù)的定義可以求得ω=2，由此可以求得該函數(shù)解析式，然后根據(jù)解析式對下列選項(xiàng)進(jìn)行一一計(jì)算即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=3sin（ωx+$\frac{π}{6}$）（ω＞0）的周期是π，
∴2π÷ω=π，則ω=2．
∴該函數(shù)是：f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
A、當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=3sin$\frac{π}{6}$=3×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，即該函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（0，$\frac{3}{2}$），故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、由正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+π]，（k∈Z），
得到2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3}{2}$π，（k∈Z），
解得：kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，（k∈Z），
∴f（x）在[$\frac{π}{12}$，$\frac{2π}{3}$]上是增函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、f（x）的對稱中心是（kπ，0），則2x+$\frac{π}{6}$=kπ，
解得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$．
當(dāng)k=1時(shí)，x=$\frac{5π}{12}$，即f（x）的一個(gè)對稱中心是（$\frac{5π}{12}$，0），故本選項(xiàng)正確；
D、將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位得到函數(shù)y=3sinωx的圖象，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：C．

點(diǎn)評 此題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握三角函數(shù)的周期公式及正弦函數(shù)的單調(diào)性是解本題的關(guān)鍵．