Question

11．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若${a_n}=\frac{1}{{n（{n+2}）}}$，則S₁₀等于$\frac{175}{264}$．

Answer 1

分析 通過(guò)裂項(xiàng)可得a_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），并項(xiàng)相消計(jì)算即可．

解答 解：∵${a_n}=\frac{1}{{n（{n+2}）}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴S₁₀=$\frac{1}{2}$[（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{10}$）-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{11}$+$\frac{1}{12}$）]
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{11}$-$\frac{1}{12}$）
=$\frac{1}{2}$•$\frac{11×12+11×6-12-11}{11×12}$
=$\frac{175}{264}$，
故答案為：$\frac{175}{264}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求數(shù)列的和，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題．