Question

已知f（x）=（x-a）（x-b）-2，（a＜b），并且α，β是方程f（x）=0的兩根，（α＜β），則實(shí)數(shù)a，b，α，β大小關(guān)系為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專題：綜合題,探究型,數(shù)形結(jié)合

分析：方法一：首先把方程化為一般形式，由于α，β是方程的解，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得到a，b，α，β之間的關(guān)系，然后對四者之間的大小關(guān)系進(jìn)行討論即可判斷．
方法二：可作出w=（x-a）（x-b）與y=（x-a）（x-b）-2的圖象，由圖象比較即可得到結(jié)論

解答： 解：方法1：方程化為一般形式得：x²-（a+b）x+ab-2=0，
∵α，β是方程（x-a）（x-b）-2=0的兩根，∴α+β=a+b
f（α）=0，f（β）=0，f（a）＜0，f（α）＜0
又二次函數(shù)圖象開口向上，∴必有α＜a＜b＜β；
故答案為：α＜a＜b＜β．
方法2：令w=（x-a）（x-b），作出圖象拋物線與x軸交于點(diǎn)a，b．則y=（x-a）（x-b）-2的圖象是將w向下平移2個單位得到，如圖則α、β是拋物線y與x軸的兩個交點(diǎn)．在圖上可以直接看到α＜a＜b＜β．
故答案為：α＜a＜b＜β．

點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系，對a，b，α，β大小關(guān)系的討論是此題的難點(diǎn)，是中檔題．