Question

7．求證ln2＜$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…$\frac{1}{3n}$＜ln3．

Answer 1

分析 令f（n）=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{3n}$，則f（n+1）=$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{3n}$+$\frac{1}{3n+1}$+$\frac{1}{3n+2}$+$\frac{1}{3n+3}$，由于f（n+1）-f（n）=$\frac{1}{3n+1}$+$\frac{1}{3n+2}$+$\frac{1}{3n+3}$-$\frac{1}{n+1}$＞0，可得數(shù)列f（n）單調(diào)遞增．即可證明左邊．令f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，（x＞1）．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可證明：lnx＞1-$\frac{1}{x}$．令x=$\frac{k+1}{k}$，則ln（k+1）-lnk＞$\frac{1}{k+1}$．利用“累加求和”即可證明．

解答 證明：令f（n）=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{3n}$，
則f（n+1）=$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{3n}$+$\frac{1}{3n+1}$+$\frac{1}{3n+2}$+$\frac{1}{3n+3}$，
∴f（n+1）-f（n）=$\frac{1}{3n+1}$+$\frac{1}{3n+2}$+$\frac{1}{3n+3}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{3n+1}$+$\frac{1}{3n+2}$-$\frac{2}{3n+3}$＞0，
∴數(shù)列f（n）單調(diào)遞增．
∴$\frac{5}{6}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$≤f（n），
∵2⁶＜e⁵，
∴l(xiāng)n2$＜\frac{5}{6}$，因此左邊成立：ln2＜f（n）．
令f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，（x＞1）．
f′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$＞0，
因此函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，∴f（x）＞f（1）=0，
∴l(xiāng)nx＞1-$\frac{1}{x}$．
令x=$\frac{k+1}{k}$，則ln（k+1）-lnk＞$\frac{1}{k+1}$．
∴f（n）=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{3n}$＜[ln（n+1）-lnn]+[ln（n+2）-ln（n+1）]+…+[ln（3n）-ln（3n-1）]=ln（3n）-lnn=ln3．
因此右邊成立．
綜上可得：ln2＜f（n）＜ln3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的單調(diào)性、構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性證明不等式、“累加求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．