Question

20．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）過(guò)點(diǎn)A（1，0），且離心率為$\sqrt{3}$
（1）求雙曲線C的方程；
（2）已知直線x-y+m=0與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)在圓x²+y²=5上，求m的值．

Answer 1

分析 （1）依題意$e=\sqrt{3}，a=1$，故$c=\sqrt{3}$，所以b²=2，由此能求出雙曲線方程．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-\frac{y^2}{2}=1\\ x-y+m=0\end{array}\right.$，得x²-2mx-m²-2=0，故$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=2m}\\{{x}_{1}{x}_{2}=-{m}^{2}-2}\end{array}\right.$，中點(diǎn)在直線x-y+m=0上，所以可得中點(diǎn)坐標(biāo)為（m，2m），由此能求出m的值．

解答 解：（1）∵雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）過(guò)點(diǎn)A（1，0），
∴a=1，
∵雙曲線的離心率為$\sqrt{3}$
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，則c=$\sqrt{3}$，
則b²=c²-a²=3-1=2，
則雙曲線C的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-\frac{y^2}{2}=1\\ x-y+m=0\end{array}\right.$，
得x²-2mx-m²-2=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=2m}\\{{x}_{1}{x}_{2}=-{m}^{2}-2}\end{array}\right.$，
又∵中點(diǎn)在直線x-y+m=0上，
所以中點(diǎn)坐標(biāo)為（m，2m），
代入x²+y²=5得m=±1滿足判別式△＞0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線方程的求法，以及直線和雙曲線相交的性質(zhì)，根據(jù)條件建立方程求出a，b的值是解決本題的關(guān)鍵，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)條件中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．