8.三棱錐P-ABC中,△ABC為正三角形且邊長(zhǎng)為$\sqrt{3}$,平面PAB⊥平面ABC,PA⊥PB,則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為4π.

分析 平面PAB⊥平面ABC,PA⊥PB,可得球心O在平面ABC上,且在AB邊的高CO上,利用△ABC為正三角形且邊長(zhǎng)為$\sqrt{3}$,可得CO′=$\frac{3}{2}$,利用勾股定理建立方程,求出R,即可求出三棱錐P-ABC的外接球的表面積.

解答 解:∵平面PAB⊥平面ABC,PA⊥PB,
∴球心O在平面ABC上,且在AB邊的高CO上
∵△ABC為正三角形且邊長(zhǎng)為$\sqrt{3}$,
∴CO′=$\frac{3}{2}$
設(shè)三棱錐P-ABC的外接球的半徑為R,則R2=($\frac{\sqrt{3}}{2}$)2+($\frac{3}{2}$-R)2,
∴R=1,
∴三棱錐P-ABC的外接球的表面積為4πR2=4π.
故答案為:4π.

點(diǎn)評(píng) 本題考查三棱錐P-ABC的外接球的表面積,考查學(xué)生的計(jì)算能力,確定球心的位置,求出三棱錐P-ABC的外接球的半徑是關(guān)鍵.

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