Question

12．已知中心在原點，焦點F₁、F₂在x軸上的雙曲線經(jīng)過點P（4，2），△PF₁F₂的內(nèi)切圓與x軸相切于點Q（2$\sqrt{2}$，0），則該雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)結(jié)合雙曲線的定義，求出a，c即可得到結(jié)論．

解答 解：中心在原點，焦點F₁、F₂在x軸上的雙曲線為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，作出對應(yīng)的圖象如圖：設(shè)三個切點分別為A，B，C，
∵△PF₁F₂的內(nèi)切圓與x軸相切于點Q（2$\sqrt{2}$，0），
∴|F₁Q|=|F₁C|=c+2$\sqrt{2}$，∴|F₂Q|=|F₂B|=c-2$\sqrt{2}$，
∴由雙曲線的定義得||F₁P|-|F₂P|=|F₁C|-|F₂B|=c+2$\sqrt{2}$-（c-2$\sqrt{2}$）=4$\sqrt{2}$=2a，
∴a=2$\sqrt{2}$，
∵雙曲線經(jīng)過點P（4，2），
∴$\frac{16}{8}$-$\frac{4}{^{2}}$=1，
即$\frac{4}{^{2}}$=1，則b²=4，
c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{8+4}=\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$，
則雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
故選：A

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)求出a，c是解決本題的關(guān)鍵．注意利用數(shù)形結(jié)合進行求解．