Question

15．在一個平面直角坐標(biāo)系中，求下列方程所對應(yīng)的圖形經(jīng)過伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{1}{3}x}\\{y′=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$后的圖形．
（1）$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
（2）$\frac{{x}^{2}}{18}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1
（3）y²=2x．

Answer 1

分析 由伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{1}{3}x}\\{y′=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{x=3{x}^{′}}\\{y=2{y}^{′}}\end{array}\right.$．分別代入所給的曲線方程中，即可判斷出曲線類型．

解答 解：由伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{1}{3}x}\\{y′=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{x=3{x}^{′}}\\{y=2{y}^{′}}\end{array}\right.$．
（1）把$\left\{\begin{array}{l}{x=3{x}^{′}}\\{y=2{y}^{′}}\end{array}\right.$代入$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1可得：（x′）²+（y′）²=1，是以原點為圓心、1為半徑的圓．

（2）把$\left\{\begin{array}{l}{x=3{x}^{′}}\\{y=2{y}^{′}}\end{array}\right.$代入$\frac{{x}^{2}}{18}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，可得：$\frac{（{x}^{′}）^{2}}{2}-\frac{（{y}^{′}）^{2}}{3}=1$，仍然為以坐標(biāo)軸為對稱軸的雙曲線．

（3）把$\left\{\begin{array}{l}{x=3{x}^{′}}\\{y=2{y}^{′}}\end{array}\right.$代入y²=2x，可得$（{y}^{′}）^{2}=\frac{3}{2}{x}^{′}$，仍然為以x軸為對稱軸的拋物線．

點評 本題考查了圓錐曲線的伸縮變換，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．