Question

【題目】已知函數(shù)．（無理數(shù)）

（1）若在單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，．（參考數(shù)據(jù)）

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可得：在（1，＋∞）恒成立，轉(zhuǎn)化成h（x）＝（x＋x2）ex－1－ 在（1，＋∞）恒成立，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，從而可得，問題得解。

（2）當(dāng)時(shí)，，利用導(dǎo)數(shù)可得，由及即可判斷存在，），使，即：，由函數(shù)單調(diào)性可得：，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可證得 ，問題得解。

（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，＋∞）

在單調(diào)遞增，

在（1，＋∞）恒成立，

設(shè)h（x）＝（x＋x2）ex－1－，

由題意h（x）≥0在（1，＋∞）恒成立，h'（x）＝ex－1（x2＋3x＋1），

當(dāng)x∈（1，＋∞）時(shí)，x2＋3x＋1＞0，

故h'（x）＞0，h（x）在（1，＋∞）單調(diào)遞增，

所以h（x）＞h（1）＝2－，故2－≥0， ≤2，

綜上∈（－∞，2]．

（2）當(dāng)＝0時(shí)，f（x）＝xex－1，

g（x）＝ex－x2－x，

g'（x）＝ex－2x－1，

設(shè)m（x）＝ex－2x－1，

則m'（x）＝ex－2，令m'（x）＝0，解得x＝ln2，

當(dāng)x∈（0，ln2）時(shí)，m'（x）＜0，m（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈（ln2，＋∞）時(shí)，m'（x）＞0，m（x）單調(diào)遞增．

因此m（x）≥m（ln2）＝eln2－2ln2－1＝1－2ln2＜0，

即g'（ln2）＝1－2ln2＜0，，

又g'（0）＝0，，

故存在x0∈（ln2，），使g'（x0）＝0，

即，．

當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，

x∈（x0，＋∞）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，

，

由于x0∈（ln2，），

函數(shù)單調(diào)遞減，

故

所以，當(dāng)x＞0時(shí)，．