Question

14．某學校高三年級有學生500人，其中男生300人，女生200人，為了研究學生的數(shù)學成績是否與性別有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名學生，先統(tǒng)計了他們期中考試的數(shù)學分數(shù)，然后按性別分為男、女兩組，再將兩組學生的分數(shù)分成5組：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）從樣本中分數(shù)小于110分的學生中隨機抽取2人，求兩人恰好為一男一女的概率；
（2）若規(guī)定分數(shù)不小于130分的學生為“數(shù)學尖子生”，請你根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為“數(shù)學尖子生與性別有關(guān)”？

P（K2≥k0）	0.100	0.050	0.010	0.001
k0	2.706	3.841	6.635	10.828

附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)分層抽樣原理計算抽取的男、女生人數(shù)，利用列舉法計算基本事件數(shù)，求出對應(yīng)的概率值；
（2）由頻率分布直方圖計算對應(yīng)的數(shù)據(jù)，填寫列聯(lián)表，計算K²值，對照數(shù)表即可得出概率結(jié)論．

解答 解：（1）由已知得，抽取的100名學生中，男生60名，女生40名，
分數(shù)小于等于110分的學生中，
男生人有60×0.05=3（人），記為A₁，A₂，A₃；
女生有40×0.05=2（人），記為B₁，B₂；…（2分）
從中隨機抽取2名學生，所有的可能結(jié)果共有10種，它們是：
（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₂，A₃），（A₁，B₁），（A₁，B₂），
（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（B₁，B₂）；
其中，兩名學生恰好為一男一女的可能結(jié)果共有6種，它們是：
（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），
（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂）；…（4分）
故所求的概率為P=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$…（6分）
（2）由頻率分布直方圖可知，
在抽取的100名學生中，男生 60×0.25=15（人），女生40×0.375=15（人）；…（7分）
據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下：

	數(shù)學尖子生	非數(shù)學尖子生	合計
男生	15	45	60
女生	15	25	40
合計	30	70	100

（9分）
所以得K²=$\frac{{n（ad-bc）}^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{100{×（15×25-15×45）}^{2}}{60×40×30×70}$≈1.79；…（11分）
因為1.79＜2.706，
所以沒有90%的把握認為“數(shù)學尖子生與性別有關(guān)”…（12分）

點評 本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了分層抽樣原理以及獨立性檢驗的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．