Question

4．2016年4月15日晚《中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)》第一季在中央電視臺(tái)圓滿落幕，冠軍由來(lái)自華東政法大學(xué)的殷怡航獲得，為了豐富學(xué)生的業(yè)余生活，某學(xué)校以班級(jí)為單位組織學(xué)生開(kāi)展古詩(shī)詞背誦比賽，隨機(jī)抽取題目，背誦正確加10分，背誦錯(cuò)誤減10分，只有“正確”和“錯(cuò)誤”兩種結(jié)果，其中某班級(jí)背誦某首詩(shī)的正確率為$\frac{2}{3}$，背誦錯(cuò)誤率為$\frac{1}{3}$，現(xiàn)記“該班完成n首背誦后總得分”為S_n
（1）求S₆=20的概率；
（2）記ξ=|S₅|，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）S₆=20表示正確4首，錯(cuò)誤2首，由此利用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式能求出S₆=20的概率．
（2）ξ=|S₅|，ξ的可能取值為10，30，50，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）S₆=20表示正確4首，錯(cuò)誤2首，
∴S₆=20的概率p=${C}_{6}^{4}（\frac{2}{3}）^{4}（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{80}{243}$．
（2）ξ=|S₅|，ξ的可能取值為10，30，50，
P（ξ=10）=${C}_{5}^{3}（\frac{2}{3}）^{3}（\frac{1}{3}）^{2}$+${C}_{5}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{120}{243}$，
P（ξ=30）=${C}_{5}^{4}（\frac{2}{3}）^{4}（\frac{1}{3}）+{C}_{5}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{4}$=$\frac{90}{243}$，
P（ξ=50）=（$\frac{2}{3}$）⁵+（$\frac{1}{3}$）⁵=$\frac{33}{243}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	10	30	50
P	$\frac{120}{243}$	$\frac{90}{243}$	$\frac{33}{243}$

Eξ=$10×\frac{120}{243}+30×\frac{90}{243}+50×\frac{33}{243}$=$\frac{1850}{81}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．