Question

19．等比數(shù)列{a_n}的公比為q，前n項(xiàng)積為T(mén)_n，且滿足a₁＞1，a₂₀₁₅•a₂₀₁₆＞1，（a₂₀₁₅-1）（a₂₀₁₆-1）＜0，給出以下四個(gè)命題：①q＞1；②a₂₀₁₅•a₂₀₁₇＜1；③T₂₀₁₅為T(mén)_n的最大值；④使T_n＞1成立的最大的正整數(shù)4031，則其中正確的命題序號(hào)為②③．

Answer 1

分析 利用等比數(shù)列的性質(zhì)可知a₂₀₁₅＞1，a₂₀₁₆＜1，得出q＜1，進(jìn)而判斷②③④即可．

解答 解：①等比數(shù)列{a_n}的公比為q，且滿足a₁＞1，a₂₀₁₅•a₂₀₁₆＞1，（a₂₀₁₅-1）（a₂₀₁₆-1）＜0，
∴a₂₀₁₅＞1，a₂₀₁₆＜1，
∴q＜1，故錯(cuò)誤；
②a₂₀₁₅•a₂₀₁₇=a₂₀₁₆×a₂₀₁₆＜1，故正確；
③a₂₀₁₅＞1，a₂₀₁₆＜1，a₁＞1，q＜1，
∴前n項(xiàng)積為T(mén)_n的最大值為T(mén)₂₀₁₅故正確；
④T₄₀₃₀=a₁•a₂…a₄₀₃₀=（a₁•a₄₀₃₀）（a₂•a₄₀₂₉）…（a₂₀₁₅•a₂₀₁₆）=（a₂₀₁₄•a₂₀₁₅）²⁰¹⁵＞1，
T₄₀₃₁=a₁•a₂…a₄₀₃₁=（a₁•a₄₀₃₁）（a₂•a₄₀₃₀）…（a₂₀₁₅•a₂₀₁₇）a₂₀₁₆＜1，
故成立的最大的正整數(shù)4030，故錯(cuò)誤．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng) 考查了等比數(shù)列的概念和性質(zhì)．難點(diǎn)是對(duì)a_m•a_n=a_p•a_q的應(yīng)用．