Question

9．已知橢圓C的中心在原點O，焦點在x軸上，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且橢圓C上的點到兩個焦點的距離之和為4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)A為橢圓C的左頂點，過點A的直線l與橢圓交于點M，與y軸交于點N，過原點與l平行的直線與橢圓交于點P．證明：|AM|•|AN|=2|OP|²．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，由離心率公式和a，bc的關(guān)系和橢圓的定義，得到方程組，解得a，b，即可得到橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)直線AM的方程為：y=k（x+2），聯(lián)立橢圓方程，運用韋達定理，設(shè)A（-2，0），M（x₁，y₁），
可得M的坐標(biāo)，運用兩點的距離公式，計算|AM|，|AN|，再由直線y=kx代入橢圓方程，求得P的坐標(biāo)，得到|OP|，計算即可得證結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
由題意知$\left\{\begin{array}{l}{a^2}={b^2}+{c^2}\\ \frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\\ 2a=4\end{array}\right.$解得a=2，b=1．
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（Ⅱ）證明：設(shè)直線AM的方程為：y=k（x+2），則N（0，2k）．
由 $\left\{\begin{array}{l}y=k（x+2）\\{x^2}+4{y^2}=4\end{array}\right.$得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0（*）．
設(shè)A（-2，0），M（x₁，y₁），則-2，x₁是方程（*）的兩個根，
所以${x_1}=\frac{{2-8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$．
所以$M（\frac{{2-8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}\;，\;\frac{4k}{{1+4{k^2}}}）$．
$|AM|=\sqrt{{{（\frac{{2-8{k^2}+2+8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}）}^2}+{{（\frac{4k}{{1+4{k^2}}}）}^2}}$=$\sqrt{\frac{{16+16{k^2}}}{{{{（1+4{k^2}）}^2}}}}=\frac{{4\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+4{k^2}}}$．$|AN|=\sqrt{4+4{k^2}}=2\sqrt{1+{k^2}}$．
則$|AM||AN|=\frac{{4\sqrt{1+{k^2}}•2\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+4{k^2}}}=\frac{{8（1+{k^2}）}}{{1+4{k^2}}}$．
設(shè)直線OP的方程為：y=kx．
由 $\left\{\begin{array}{l}y=kx\\{x^2}+4{y^2}=4\end{array}\right.$得（1+4k²）x²-4=0．
設(shè)P（x₀，y₀），則${x_0}^2=\frac{4}{{1+4{k^2}}}$，${y_0}^2=\frac{{4{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$．
所以$|OP{|^2}=\frac{{4+4{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$，$2|OP{|^2}=\frac{{8+8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$．
所以|AM|•|AN|=2|OP|²．

點評 本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率公式和方程的運用，聯(lián)立直線方程，運用韋達定理和兩點的距離公式，考查運算能力，屬于中檔題．