Question

4．已知方程x²+y²-2（t+3）+2（1-4t²）y+16t⁴+9=0，回答下列問題：
（1）t為何值時，方程表示圓？
（2）當(dāng)方程表示圓時，t取何值時圓的面積最大？

Answer 1

分析 （1）方程x²+y²+Dx+Ey+F=0表示圓時D²+E²-4F＞0，由此能求出t∈（-7，1）時，方程表示圓．
（2）圓的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0，半徑r²=$\frac{1}{2}$（D²+E²-4F），由此求出r²=-14t²+12t+2，從而能求出結(jié)果．

解答 解：（1）∵方程x²+y²-2（t+3）+2（1-4t²）y+16t⁴+9=0表示圓，
∴[-2（t+3）]²+[2（1-4t²）]²-4（16t⁴+9）＞0，
整理，得7t²-6t-1＜0，
解得-7＜t＜1．
∴t∈（-7，1）時，方程表示圓．
（2）圓的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0
半徑r²=$\frac{1}{2}$（D²+E²-4F），
本題中，D=-2（t+3），E=2（1-4t²），F(xiàn)=16t⁴+9
則D²+E²-4F=4（t+3）²+4（1-4t²）²-64t⁴-36
=-28t²+24t+4，
r²=-14t²+12t+2，
當(dāng)t=$\frac{3}{7}$時，r²有最大值$\frac{32}{7}$，此時圓的面積最大
∴t=$\frac{3}{7}$時，圓的面積最大．

點評 本題考查方程表求圓的條件的求法，考查圓的面積最大時實數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運用．