Question

17．已知正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長為2，側(cè)面積為$2\sqrt{15}$，則其外接球的體積為$\frac{32π}{3}$．

Answer 1

分析 利用正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長為2，側(cè)面積為$2\sqrt{15}$，求出底面邊長、斜高、高，利用勾股定理求出外接球的半徑，即可求出外接球的體積．

解答 解：設(shè)正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2a，斜高為h，則
∵正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長為2，側(cè)面積為$2\sqrt{15}$，
∴a²+h²=4，4×$\frac{1}{2}$×2a×h=2$\sqrt{15}$（h＞a），
∴a=$\sqrt{\frac{3}{2}}$，h=$\sqrt{\frac{5}{2}}$，
∴正四棱錐S-ABCD的高為1，
設(shè)外接球的半徑為R，則
∵底面對角線長為2$\sqrt{2}$a=2$\sqrt{3}$，
∴由勾股定理可得R²=（$\sqrt{3}$）²+（R-1）²，∴R=2，
∴外接球的體積為$\frac{4}{3}π•{2}^{3}$=$\frac{32π}{3}$．
故答案為：$\frac{32π}{3}$．

點評 本題考查外接球的體積，考查學(xué)生的計算能力，正確求出外接球的半徑是關(guān)鍵．