Question

17．等比數(shù)列{a_n}前n項和為S_n滿足$\underset{lim}{n→∞}$S_n=$\frac{1}{{a}_{1}}$，求a₁的范圍．

Answer 1

分析 由等比數(shù)列的求和公式和極限運算可得q=1-a₁²，由0＜|q|＜1可得不等式，解不等式可得．

解答 解：當公比q=1時，S_n=na₁（a₁≠0），S_n無極限；
當0＜|q|＜1時，S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，
$\underset{lim}{n→∞}$S_n=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$，
故a₁²=1-q，q=1-a₁²，
由0＜|q|＜1可得-1＜1-a₁²＜1，
解得-$\sqrt{2}$＜a₁＜$\sqrt{2}$，且a₁≠±1，
則a₁的范圍是（-$\sqrt{2}$，-1）∪（-1，1）∪（1，$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查等比數(shù)列的求和公式，涉及極限的運算和不等式的解法，屬于中檔題．