Question

給出下列四個(gè)命題：
①函數(shù)f（x）=tanx有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)；
②把函數(shù)f（x）=2sin2x圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的4倍，然后再向右平移

π

6

個(gè)單位得到的函數(shù)解析式可以表示為g（x）=2sin（

1

2

x-

π

6

）；
③函數(shù)f（x）=

1

2

sinx+

1

2

|sinx|的值域是[-1，1]；
④已知函數(shù)f（x）=2cos2x，若存在實(shí)數(shù)x₁、x₂，使得對(duì)任意x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，則|x₁-x₂|的最小值為

π

2

．
其中正確命題的序號(hào)為

 

（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,簡(jiǎn)易邏輯

分析：①當(dāng)x=kπ，k∈Z時(shí)，函數(shù)f（x）=tanx=0；
②得到的函數(shù)解析式可以表示為g（x）=2sin[

1

2

（x-

π

6

）]；
③先對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)，然后結(jié)合正弦函數(shù)的值域求解即可；
④若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），則x₁，x₂是函數(shù)的兩個(gè)對(duì)稱軸，且f（x₁）為最小值，f（x₂）為最大值，然后根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解結(jié)論．

解答： 解：①當(dāng)x=kπ，k∈Z時(shí)，函數(shù)f（x）=tanx=0，故①正確；
②把函數(shù)f（x）=2sin2x圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的4倍，然后再向右平移

π

6

個(gè)單位得到的函數(shù)解析式可以表示為g（x）=2sin[

1

2

（x-

π

6

）]，故②不正確；
③f（x）=

1

2

sinx+

1

2

|sinx|=

2sinx，sinx≥0 0，sinx＜0

，根據(jù)正弦函數(shù)的值域的求解可得值域是[0，1]，故不正確；
④∵f（x）=2cos2x，∴函數(shù)的周期T=π．如果存在實(shí)數(shù)x₁，x₂，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），則x₁，x₂是函數(shù)的兩個(gè)對(duì)稱軸，且f（x₁）為最小值，f（x₂）為最大值，
∴|x₁-x₂|的最小值為相鄰兩個(gè)對(duì)稱軸之間的距離即

π

2

，故④正確．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握正弦函數(shù)，余弦函數(shù)及正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．