Question

8．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）和圓x²+y²=（$\frac{2}$t+$\frac{c}{2}$）²，（c為橢圓的半焦距）對任意t∈[1，2]恒有四個不同的交點，則橢圓的離心率e的取值范圍為（　�。�

• A． （0，$\frac{4}{5}$]
• B． （$\frac{4}{5}$，1）
• C． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• D． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{4}{5}$）

Answer 1

分析 求得圓的圓心和半徑，由題意可得b＜$\frac{2}$t+$\frac{c}{2}$＜a對任意t∈[1，2]恒成立，運用恒成立思想可得，b＜$\frac{2}$+$\frac{c}{2}$，且a＞b+$\frac{c}{2}$，由a，b，c的關系和離心率公式，計算即可得到所求范圍．

解答 解：圓x²+y²=（$\frac{2}$t+$\frac{c}{2}$）²的圓心為（0，0），半徑為$\frac{2}$t+$\frac{c}{2}$，
由題意可得b＜$\frac{2}$t+$\frac{c}{2}$＜a對任意t∈[1，2]恒成立，
即有b＜$\frac{2}$+$\frac{c}{2}$，且a＞b+$\frac{c}{2}$，
可得b＜c且（a-$\frac{c}{2}$）²＞b²=a²-c²，
即有a²-c²＜c²，且c＞$\frac{4}{5}$a，
由題意e=$\frac{c}{a}$，可得e＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$且e＞$\frac{4}{5}$．
即有$\frac{4}{5}$＜e＜1．
故選：A．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，橢圓和圓的位置關系，注意運用恒成立思想，考查離心率的范圍，屬于中檔題．