Question

2．已知函數(shù)$f（x）=-\frac{3}{2}{x^2}+ax-1$；
（1）若函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上至少有一個零點，求a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）在[1，2]上的最大值；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）+1在R上的最大值不大于$\frac{1}{6}$，又當(dāng)$x∈[\frac{1}{4}，\frac{1}{2}]$時，$f（x）≥\frac{1}{8}$，求a得值．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上至少有一個零點，則△≥0，進(jìn)而可得a的取值范圍；
（2）首先把函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)化為頂點式，進(jìn)一步求出對稱軸方程利用分類討論思想求出相應(yīng)的結(jié)果．
（3）先利用函數(shù)f（x）的最大值不大于$\frac{1}{6}$，求出a的范圍，進(jìn)一步利用分類討論思想求出a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上至少有一個零點，
則方程$-\frac{3}{2}{x}^{2}+ax-1=0$至少有一個實數(shù)根，
∴△=${a}^{2}-4×（-\frac{3}{2}）×（-1）$=a²-6≥0，
解得：a∈（-∞，-$\sqrt{6}$]∪[$\sqrt{6}$，+∞）
（2）函數(shù)$f（x）=-\frac{3}{2}{x^2}+ax-1$=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{a}{3}$）²+$\frac{{a}^{2}}{6}$-1．
則：函數(shù)的圖鈴為開口方向向下，對稱軸為x=$\frac{a}{3}$的拋物線．
①當(dāng)1≤$\frac{a}{3}$≤2時，即3≤a≤6，f（x）_max=$\frac{{a}^{2}}{6}$-1，
②當(dāng)$\frac{a}{3}$＞2時，即a＞6，函數(shù)在區(qū)間[1，2]是增函數(shù)．
則：f（x）_max=f（2）=2a-7，
③當(dāng)$\frac{a}{3}$＜1時，即a＜3，函數(shù)在區(qū)間[1，2]是減函數(shù)．
則：f（x）max=f（1）=a-$\frac{5}{2}$，
（3）由于g（x）=f（x）+1的最大值不大于$\frac{1}{6}$，
所以$\frac{{a}^{2}}{6}$≤$\frac{1}{6}$
即-1≤a≤1，
①當(dāng)$\frac{1}{4}$≤$\frac{a}{3}$≤$\frac{1}{2}$時，即$\frac{3}{4}$≤a≤$\frac{3}{2}$與-1≤a≤1矛盾，
②當(dāng)$\frac{a}{3}$＞$\frac{1}{2}$即a＞$\frac{3}{2}$與-1≤a≤1矛盾，
③當(dāng)$\frac{a}{3}$＜$\frac{1}{4}$時，即a＜$\frac{3}{4}$，函數(shù)f（x）max=f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{a}{4}$-$\frac{3}{32}$≥$\frac{1}{8}$，
解得：a≥$\frac{7}{8}$；
綜上所述：$\frac{7}{8}$≤a≤1．

點評 本題考查的知識要點：二次函數(shù)的頂點式與一般式的互化，不定對稱軸與定區(qū)間進(jìn)行分類討論，二次函數(shù)的單調(diào)性和最值．