Question

10．已知函數(shù)f（x）=e^x（-x²+b）在點P（0，f（0））處的切線方程為y=3x+3
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈（-1，+∞）時，f（x）+x²e^x+2xe^x≥m（x+1）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=e^x（-x²-2x+b）．由點P（0，f（0））處的切線方程為y=3x+3．可得f（0）=3，f′（0）=3．解得b，由f′（x）＜0，解出可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）f（x）+x²e^x+2xe^x≥m（x+1），化為e^x（2x+3）≥m（x+1），由x∈（-1，+∞）時，f（x）+x²e^x+2xe^x≥m（x+1）恒成立?$m≤{（\frac{{{e^x}（3+2x）}}{x+1}）_{min}}$．令$g（x）=\frac{{{e^x}（3+2x）}}{x+1}$，用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：（1）f′（x）=e^x（-x²-2x+b）．
∵點P（0，f（0））處的切線方程為y=3x+3．
∴f（0）=3，f′（0）=3．
∴b=3，
∴f′（x）=e^x（-x²-2x+3）=-e^x（x+3）（x-1），
由f′（x）＜0，化為（x+3）（x-1）＞0，解得x＞1或x＜-3，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-3），（1，+∞）；
（2）f（x）+x²e^x+2xe^x≥m（x+1），化為e^x（2x+3）≥m（x+1），
∵x∈（-1，+∞）時，f（x）+x²e^x+2xe^x≥m（x+1）恒成立，
∴$m≤{（\frac{{{e^x}（3+2x）}}{x+1}）_{min}}$即可．
令$g（x）=\frac{{{e^x}（3+2x）}}{x+1}$，
由導(dǎo)數(shù)得g（x）在（-1，-$\frac{1}{2}$）遞減；在（-$\frac{1}{2}$，+∞）遞增，
∴$g{（x）_{min}}=g（-\frac{1}{2}）=\frac{{4\sqrt{e}}}{e}$，
∴$m≤\frac{{4\sqrt{e}}}{e}$．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值、導(dǎo)數(shù)幾何意義，考查了恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．