Question

12．已知關(guān)于x的函數(shù)f（x）=x²+2mlog₂（x²+2）+m²-3，（m＞0）有唯一的零點，且正實數(shù)a、b滿足a²+b²=m，且a³+b³+1=t（a+b+1）³，則t的最小值是（　�。�

• A． $\frac{{3\sqrt{2}-4}}{2}$
• B． $\frac{{3\sqrt{3}-4}}{2}$
• C． $\frac{{2\sqrt{2}-4}}{2}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}-4}}{2}$

Answer 1

分析 由偶函數(shù)f（x）=${x^2}+2m{log_2}（{x^2}+2）+{m^2}-3，（m＞0）$有唯一的零點．可得：f（0）=0，進而求出m=1；進而令a=cosθ，b=sinθ，$0＜θ＜\frac{π}{2}$，根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)及常數(shù)分離法和反比例函數(shù)的和性質(zhì)，可得t的最小值．

解答 解：∵f（x）是偶函數(shù)，且f（x）=${x^2}+2m{log_2}（{x^2}+2）+{m^2}-3，（m＞0）$有唯一的零點．
∴f（0）=0，解得，m=1或-3，
又∵m＞0，
∴m=1，
∴a²+b²=1，
令a=cosθ，b=sinθ，$0＜θ＜\frac{π}{2}$，
則由a³+b³+1=t（a+b+1）³得：$t=\frac{{{{cos}^3}θ+{{sin}^3}θ+1}}{{{{（cosθ+sinθ+1）}^3}}}=\frac{{（cosθ+sinθ）（{{cos}^2}θ-cosθsinθ+{{sin}^2}θ）+1}}{{{{（cosθ+sinθ+1）}^3}}}$．
令 x=cosθ+sinθ，則 $x=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）∈（1，\sqrt{2}]$，且$cosθsinθ=\frac{{{x^2}-1}}{2}$．
于是$t=\frac{{x（1-\frac{{{x^2}-1}}{2}）+1}}{{{{（x+1）}^3}}}=\frac{{2+3x-{x^3}}}{{2{{（x+1）}^3}}}=\frac{{2+x-{x^2}}}{{2{{（x+1）}^2}}}=\frac{2-x}{2（x+1）}=\frac{3}{2（x+1）}-\frac{1}{2}$．
因為函數(shù)$f（x）=\frac{3}{2（x+1）}-\frac{1}{2}$在$（1，\sqrt{2}]$上單調(diào)遞減，因此，t的最小值為$f（\sqrt{2}）=\frac{{3\sqrt{2}-4}}{2}$．
故選：A

點評 本題考查的知識點是函數(shù)零點的判定定理，偶函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，常數(shù)分離法和反比例函數(shù)的和性質(zhì)，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應用，難度較大．