Question

16．已知P是圓x²+y²=36的圓心，R是橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{3}=1$上的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{PR}=3\overrightarrow{PQ}$．
（1）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程
（2）若直線y=x+1與曲線Q相交于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的長度．

Answer 1

分析 （1）由已喬得P（0，0），R（3cosθ，$\sqrt{3}sinθ$），設(shè)Q（x，y），由$\overrightarrow{PR}=3\overrightarrow{PQ}$，能求出動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得2x²+3x+1=0，由此能求出弦AB的長度．

解答 解：（1）∵P是圓x²+y²=36的圓心，R是橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{3}=1$上的一動(dòng)點(diǎn)，
∴P（0，0），R（3cosθ，$\sqrt{3}sinθ$），
設(shè)Q（x，y），∵$\overrightarrow{PR}=3\overrightarrow{PQ}$，
∴（3cosθ，$\sqrt{3}sinθ$）=（3x，3y），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3cosθ=3x}\\{\sqrt{3}sinθ=3y}\end{array}\right.$，∴x²+3y²=1，
∴動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為x²+3y²=1．
（2）直線y=x+1與曲線Q相交于A、B兩點(diǎn)，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得2x²+3x+1=0，
△=9-8=1，
解得${x}_{1}=-\frac{1}{2}$，y₁=$\frac{1}{2}$；x₂=-1，y₂=0，
∴弦AB的長度|AB|=$\sqrt{（-\frac{1}{2}+1）^{2}+（\frac{1}{2}-0）^{2}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查弦長的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓的參數(shù)方程的合理運(yùn)用．