Question

6．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，點(diǎn)M在橢圓C上，且MF₂⊥F₁F₂，△F₁MF₂的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，若直線l始終與圓x²+y²=r²（r＞0）相切，求半徑的r的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，點(diǎn)M在橢圓C上，且MF₂⊥F₁F₂，△F₁MF₂的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+m，代入橢圓方程式，得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，由此利用韋達(dá)定理、根的判別式、點(diǎn)到直線的距離公式能求出半徑的r的值．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
點(diǎn)M在橢圓C上，且MF₂⊥F₁F₂，△F₁MF₂的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{1}{2}×\frac{^{2}}{a}×2c=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+m，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，
直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{4{k}^{2}+1}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}}\end{array}\right.$，
△=64k²m²-4（4k²+1）（4m²-4）＞0，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+b²，
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=（k²+1）•$\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$-$\frac{8{k}^{2}m}{4{k}^{2}+1}$+m²=0，
∴5m²=4k²+4，
∵直線l始終與圓x²+y²=r²（r＞0）相切，
∴圓心（0，0）到直線y=kx+m的距離：
d=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|m|}{\sqrt{\frac{5}{4}{m}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=r，
∴半徑的r的值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查圓的半徑的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、韋達(dá)定理、根的判別式、點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．