Question

已知f(x)=

2

sinx+sin(

π

4

-x)
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期與單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅱ）當(dāng)x∈(-

π

2

，

π

2

)，求f（x）的最小值與最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用三角恒等變換可求得f（x）=sin（x+

π

4

），從而可求f（x）的最小正周期與單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈（-

π

2

，

π

2

）時(shí)，x+

π

4

∈（-

π

4

，

3π

4

），利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值可求得f（x）的最小值與最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

2

sinx+

2

2

cosx-

2

2

sinx=

2

2

cosx+

2

2

sinx=sin（x+

π

4

），
∴f（x）的最小正周期T=2π；
由-

π

2

+2kπ≤x+

π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），
得-

3π

4

+2kπ≤x≤

π

4

+2kπ（k∈Z），
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-

3π

4

+2kπ，

π

4

+2kπ]（k∈Z）；
（Ⅱ）當(dāng)x∈（-

π

2

，

π

2

）時(shí)，x+

π

4

∈（-

π

4

，

3π

4

），
∴sin（x+

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
∴f（x）的最小值為-

2

2

，最大值為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角恒等變換，考查正弦函數(shù)周期性、單調(diào)性與最值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．