Question

15．已知x，y∈（0，+∞），3^x-2=（$\frac{1}{3}$）^y，則$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$的最小值為$\frac{3}{2}+\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得x+y=2，再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵x，y∈（0，+∞），3^x-2=（$\frac{1}{3}$）^y，
∴3^x-2=3^-y，∴x-2=-y，即x+y=2．
則$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=$\frac{1}{2}（x+y）（\frac{1}{x}+\frac{2}{y}）$=$\frac{1}{2}（3+\frac{y}{x}+\frac{2x}{y}）$$≥\frac{1}{2}（3+2\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{2x}{y}}）$=$\frac{3}{2}+\sqrt{2}$．當(dāng)且僅當(dāng)y=$\sqrt{2}$x=2$（2-\sqrt{2}）$，
故答案為：$\frac{3}{2}+\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)函數(shù)性質(zhì)、“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．