Question

16．甲、乙兩家商場(chǎng)對(duì)同一種商品開(kāi)展促銷(xiāo)活動(dòng)，對(duì)購(gòu)買(mǎi)該商品的顧客兩家商場(chǎng)的獎(jiǎng)勵(lì)方案如下：
甲商場(chǎng)：顧客轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示圓盤(pán)，當(dāng)指針指向陰影部分（圖中四個(gè)陰影部分均為扇形，且每個(gè)扇形圓心角均為15度，邊界忽略不計(jì)）即為中獎(jiǎng)．
乙商場(chǎng)：從裝有3個(gè)白球和3個(gè)紅球的盒子中一次性摸出2球（這些球除顏色外完全相同），如果摸到的是2個(gè)紅球，即為中獎(jiǎng)．
（1）試問(wèn)：購(gòu)買(mǎi)該商品的顧客在哪家商場(chǎng)中獎(jiǎng)的可能性大？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）記在乙商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)該商品的顧客摸到紅球的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)顧客去甲商場(chǎng)轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤(pán)，指針指向陰影部分為事件A，利用幾何概型求出顧客去甲商場(chǎng)中獎(jiǎng)的概率；設(shè)顧客去乙商場(chǎng)一次摸出兩個(gè)紅球?yàn)槭录﨎，利用等可能事件概率計(jì)算公式求出顧客去乙商場(chǎng)中獎(jiǎng)的概率，由此能求出顧客在乙商場(chǎng)中獎(jiǎng)的可能性大．
（2）由題意知ξ的取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）設(shè)顧客去甲商場(chǎng)轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤(pán)，指針指向陰影部分為事件A，
試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閳A盤(pán)，面積為πr²（r為圓盤(pán)的半徑），陰影區(qū)域的面積為$S=4×\frac{1}{2}×\frac{π}{12}{r^2}=\frac{π}{6}{r^2}$．
所以，$P（A）=\frac{{\frac{π}{6}{r^2}}}{{π{r^2}}}=\frac{1}{6}$．…3分
設(shè)顧客去乙商場(chǎng)一次摸出兩個(gè)紅球?yàn)槭录﨎，
則一切等可能的結(jié)果有$C_6^2$種，其中摸到的2個(gè)球都是紅球有$C_3^2$種．
所以，P（B）=$\frac{C_3^2}{C_6^2}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$．…5分
因?yàn)镻（A）＜P（B），
所以，顧客在乙商場(chǎng)中獎(jiǎng)的可能性大． …6分
（2）由題意知ξ的取值為0，1，2 　　　 …7分
∴$P（ξ=0）=\frac{C_3^0C_3^2}{C_6^3}=\frac{1}{5}$，
$P（ξ=1）=\frac{C_3^1C_3^1}{C_6^3}=\frac{3}{5}$，
$P（ξ=2）=\frac{C_3^2C_3^0}{C_6^3}=\frac{1}{5}$…10分
∴所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

…11分
ξ的數(shù)學(xué)期望$Eξ=0×\frac{1}{5}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{1}{5}=1$…12分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法及應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．