Question

7．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=3，a_n+1+1=a₁a₂a₃…a_n，（n∈N^*）．
證明：當(dāng)n≥2時，a${\;}_{n}^{2}$=a_n+1-a_n+1．

Answer 1

分析 易知a_n＞0恒成立；從而做商法化簡得$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n}+1}$=a_n，從而證明．

解答 證明：∵a₁=3，a_n+1+1=a₁a₂a₃…a_n，
∴a₂=2，a₃=5，…；
∴a_n＞0恒成立；
當(dāng)n≥2時，a_n+1+1=a₁a₂a₃…a_n，
a_n+1=a₁a₂a₃…a_n-1，
兩式作商可得，
$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n}+1}$=a_n，
故a_n+1+1=a${\;}_{n}^{2}$+a_n，
即a${\;}_{n}^{2}$=a_n+1-a_n+1．

點評 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時考查了學(xué)生化簡運算的能力．