Question

18．已知過雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦點(diǎn)的直線1與C交于A，B兩點(diǎn)，且使|AB|=4a的直線1恰好有3條，則雙曲線C的漸近線方程為（　�。�

• A． y=±$\sqrt{2}$x
• B． y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x
• C． y=±2x
• D． y=±$\frac{1}{2}$x

Answer 1

分析 由|AB|=4a的直線1恰好有3條，由雙曲線的對(duì)稱性可得，必有一條與x軸垂直，另兩條關(guān)于x軸對(duì)稱，令x=c，代入雙曲線方程，計(jì)算即可得到弦長(zhǎng)，由漸近線方程即可得到所求．

解答 解：由|AB|=4a的直線1恰好有3條，
由雙曲線的對(duì)稱性可得，必有一條與x軸垂直，
另兩條關(guān)于x軸對(duì)稱，
令x=c，代入雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），可得
y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{^{2}}{a}$，
即有此時(shí)|AB|=$\frac{2^{2}}{a}$=4a，
即為b=$\sqrt{2}$a，
即有雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
即為y=±$\sqrt{2}$x．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，注意運(yùn)用雙曲線的對(duì)稱性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．