Question

2．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)為A₁，上頂點(diǎn)為B₂、右焦點(diǎn)為F₂，橢圓C的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，△A₁B₂F₂的面積為$\sqrt{2}$+1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線1：y=k（x-$\sqrt{2}$），k≠0與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)M，A與C關(guān)于y軸對(duì)稱，直線BC與y軸交于點(diǎn)N．求證：|0M|•|0N|為定值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，及三角形的面積公式可得$\frac{1}{2}$b（c+a）=1+$\sqrt{2}$，解方程可得a，b的值，即可得到橢圓方程；
（2）由y=k（x-$\sqrt{2}$），可得M（0，-$\sqrt{2}$k），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，解方程可得A，B的坐標(biāo)，由對(duì)稱可得C的坐標(biāo)，運(yùn)用三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，化簡(jiǎn)可得-$\sqrt{2}$nk=2，即可得到定值2．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²-b²=c²，
由△A₁B₂F₂的面積為$\sqrt{2}$+1，可得$\frac{1}{2}$b（c+a）=1+$\sqrt{2}$，
解得a=2，b=c=$\sqrt{2}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）證明：由y=k（x-$\sqrt{2}$），可得M（0，-$\sqrt{2}$k），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\sqrt{2}）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，可得（1+2k²）x²-4$\sqrt{2}$k²x+4k²-4=0，
解得x=$\frac{2\sqrt{2}{k}^{2}±2\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，
可設(shè)A（$\frac{2\sqrt{2}{k}^{2}-2\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{-2k\sqrt{1+{k}^{2}}-\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$），
B（$\frac{2\sqrt{2}{k}^{2}+2\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{2k\sqrt{1+{k}^{2}}-\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$），
N（0，n），
由A與C關(guān)于y軸對(duì)稱，可得C（-$\frac{2\sqrt{2}{k}^{2}-2\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{-2k\sqrt{1+{k}^{2}}-\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$），
由B，C，N共線 可得k_BC=k_BN，
即有$\frac{4k\sqrt{1+{k}^{2}}}{4\sqrt{2}{k}^{2}}$=$\frac{2k\sqrt{1+{k}^{2}}-\sqrt{2}k-n（1+2{k}^{2}）}{2\sqrt{2}{k}^{2}+2\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
化簡(jiǎn)可得-$\sqrt{2}$nk=2，
即有|OM|•|ON|=|$\sqrt{2}$nk|=2．
可得|0M|•|0N|為定值2．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道直線與橢圓的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．